Hook · 도입
"$1001^2 - 999^2$ 을 암산으로 구할 수 있을까?"
직접 계산하면 $1002001 - 998001 = 4000$ — 큰 수 두 번의 제곱이 필요하다. 그러나 인수분해를 쓰면 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 로 단번에 처리된다.
$1001^2 - 999^2 = (1001+999)(1001-999)$
$= 2000 \times 2 = 4000$
✓ 큰 수 두 개의 제곱 계산이 단순한 두 자리 곱셈으로 줄어든다.
$= 2000 \times 2 = 4000$
✓ 큰 수 두 개의 제곱 계산이 단순한 두 자리 곱셈으로 줄어든다.
Use · 01
활용 1 — 수치 계산
Numerical Computation
1두 수의 차의 제곱 → 합·차의 곱
큰 수의 제곱 차이를 직접 계산하는 대신, 인수분해로 두 작은 수의 곱으로 바꾼다.
전략 1. $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ → 두 큰 수의 제곱 차를 단숨에.
전략 2. $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ → 식의 값이 $(a+b)$ 와 직결될 때.
전략 2. $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ → 식의 값이 $(a+b)$ 와 직결될 때.
$52^2 - 48^2 = (52+48)(52-48) = 100 \times 4 = 400$
$103^2 - 97^2 = (103+97)(103-97) = 200 \times 6 = 1200$
$25^2 + 2\cdot 25\cdot 5 + 5^2 = (25+5)^2 = 30^2 = 900$
$103^2 - 97^2 = (103+97)(103-97) = 200 \times 6 = 1200$
$25^2 + 2\cdot 25\cdot 5 + 5^2 = (25+5)^2 = 30^2 = 900$
Use · 02
활용 2 — 식의 값 구하기
Evaluating Expressions via Factorization
2인수분해 후 대입하면 훨씬 쉽다
복잡한 식에 값을 대입하기 전에 먼저 인수분해하면, 계산이 극적으로 단순해진다.
전략. 식의 값을 묻는 문제는 거의 항상 인수분해부터 시도하라.
이유. 인수분해된 꼴이 대입 후 곱·차의 형태로 정리되며, 무리수나 큰 수 계산이 간단해진다.
이유. 인수분해된 꼴이 대입 후 곱·차의 형태로 정리되며, 무리수나 큰 수 계산이 간단해진다.
예) $x=2025$ 일 때 $x^2 - 2x + 1$ 의 값?
→ 인수분해 $(x-1)^2$ → $(2025-1)^2 = 2024^2 = 4{,}096{,}576$
예) $x = \sqrt{3}+1, y = \sqrt{3}-1$ 일 때 $x^2 - y^2$ 의 값?
→ $(x+y)(x-y) = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}$
→ 인수분해 $(x-1)^2$ → $(2025-1)^2 = 2024^2 = 4{,}096{,}576$
예) $x = \sqrt{3}+1, y = \sqrt{3}-1$ 일 때 $x^2 - y^2$ 의 값?
→ $(x+y)(x-y) = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}$
Use · 03
활용 3 — 복합 인수분해
Multi-step Factorization
3공통인수 → 공식 → 추가 묶음
한 번의 인수분해로 끝나지 않을 수 있다. 단계적으로 묶고, 또 묶어 들어가야 한다.
표준 절차. ① 먼저 공통인수가 있는지 확인 → ② 남은 식에 공식 적용 → ③ 더 묶을 수 있는지 재검토.
예) $2x^3 - 8x$ 를 인수분해
① 공통인수 $2x$ 묶기 → $2x(x^2 - 4)$
② $(x^2-4)$ 에 차의 제곱 공식 → $2x(x+2)(x-2)$
예) $3x^2y + 18xy + 27y$ 를 인수분해
① 공통인수 $3y$ 묶기 → $3y(x^2 + 6x + 9)$
② $(x^2+6x+9)$ 에 완전제곱식 공식 → $3y(x+3)^2$
① 공통인수 $2x$ 묶기 → $2x(x^2 - 4)$
② $(x^2-4)$ 에 차의 제곱 공식 → $2x(x+2)(x-2)$
예) $3x^2y + 18xy + 27y$ 를 인수분해
① 공통인수 $3y$ 묶기 → $3y(x^2 + 6x + 9)$
② $(x^2+6x+9)$ 에 완전제곱식 공식 → $3y(x+3)^2$
Use · 04
활용 4 — 치환을 통한 인수분해
Substitution Method
4반복되는 덩어리는 한 문자로
같은 표현이 두 번 이상 등장하면, 그 부분을 새 변수 $A$ 로 두고 인수분해한다.
예제. $(x+1)^2 - 4(x+1) + 4$ 를 인수분해.
$A = x+1$ 로 두면 $A^2 - 4A + 4 = (A-2)^2 = (x+1-2)^2 = (x-1)^2$.
$A = x+1$ 로 두면 $A^2 - 4A + 4 = (A-2)^2 = (x+1-2)^2 = (x-1)^2$.
$(a-b)^2 + 3(a-b) - 10 \xrightarrow{A=a-b} A^2 + 3A - 10 = (A+5)(A-2) = (a-b+5)(a-b-2)$
Interactive · 실험실
차의 제곱 수치 계산기
Difference of Squares Calculator
두 수 $a, b$ 를 입력하면 $a^2 - b^2$ 의 값을 인수분해로 계산한다.
Quick Check · 즉문즉답
5문제 즉시 점검
Five Rapid Questions
Q1. 인수분해로 $1001^2 - 999^2$ 의 값을 구하라.
Q2. 인수분해로 $25^2 + 50 + 25^2$ — 아니, $25^2 + 2 \cdot 25 \cdot 5 + 5^2$ 의 값을 구하라.
Q3. $2x^3 - 8x$ 를 인수분해하라.
Q4. $3x^2y + 18xy + 27y$ 를 인수분해하라.
Q5. $(x+1)^2 - 4(x+1) + 4$ 를 인수분해하라. (치환 활용)
Examples · 예제
풀이가 있는 두 예제
Worked Examples
예제 1
$x = 2024$ 일 때 $x^2 + 2x + 1$ 의 값을 구하라.
대입하기 전 인수분해부터.
- $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ — 완전제곱식 공식.
- $x=2024$ 대입 → $(2024+1)^2 = 2025^2$
- $2025^2 = (2000+25)^2 = 4{,}000{,}000 + 100{,}000 + 625 = $ $4{,}100{,}625$
예제 2
$x^4 - 16$ 을 인수분해하라.
차의 제곱을 두 번 연속 적용한다.
- $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$ → 차의 제곱 적용 → $(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
- $(x^2 - 4)$ 에 다시 차의 제곱 적용 → $(x+2)(x-2)$
- $(x^2 + 4)$ 는 실수 범위에서 더 이상 인수분해되지 않음.
- 결과 → $(x^2 + 4)(x+2)(x-2)$
Practice · 연습
난이도별 연습 8문제
Eight Graded Problems
01★
인수분해로 $51^2 - 49^2$ 의 값을 구하라.
02★
인수분해로 $96^2 + 2\cdot 96\cdot 4 + 4^2$ 의 값을 구하라.
03★★
$2x^3 - 18x$ 를 인수분해하라.
04★★
$2x^2 - 50$ 을 인수분해하라.
05★★
$x^3 + 3x^2 + 2x$ 를 인수분해하라.
06★★
$x=2$ 일 때 $x^2 + 6x + 9$ 의 값을 인수분해로 구하라. (인수분해 형태로 답)
07★★★
$x^4 - 16$ 을 인수분해하라.
08★★★
$(a+b)^2 + (a+b) - 6$ 을 인수분해하라. (치환 활용)
인수분해는 가장 강력한 무기
큰 수의 제곱 차이를 한 줄로, 복잡한 식의 값을 단번에, 그리고 다음 단원 이차방정식의 모든 풀이를 — 인수분해 하나로 처리한다. $(x-a)(x-b) = 0 \Rightarrow x=a$ 또는 $x=b$ 라는 직관이 곧 이어진다.
"Factor first, ask questions later." — Algebra teachers everywhere